Comment convertir un nombre d'une base à une autre
Dans toutes les bases, la valeur d'un chiffre dépend de sa position. En décimal, les positions valent 1, 10, 100… En binaire, elles valent 1, 2, 4, 8, 16… (puissances de 2). En hexadécimal, 1, 16, 256, 4 096… (puissances de 16), avec les lettres A à F pour les valeurs 10 à 15.
Décimal vers binaire : divisez le nombre par 2, notez le reste (0 ou 1), puis recommencez avec le quotient jusqu'à obtenir 0. Le résultat se lit en partant du dernier reste. La même méthode marche pour l'octal (divisions par 8) et l'hexadécimal (divisions par 16).
Binaire ou hexadécimal vers décimal : multipliez chaque chiffre par la puissance de la base qui correspond à sa position, puis additionnez. C'est ce que montre la ligne « Décomposition » quand vous cliquez sur « Convertir avec détails ». Entre binaire et hexadécimal, il suffit de faire des paquets de 4 bits en partant de la droite (paquets de 3 bits pour l'octal).
Dans le cadre « Conversion en temps réel », tapez le nombre dans « Entrez votre nombre » et choisissez la « Base d'entrée » : les quatre bases s'affichent aussitôt. Saisissez un entier positif sans préfixe (écrivez FF, pas 0xFF) ; les lettres A à F sont acceptées en minuscules ou en majuscules. Le détail donne aussi le nombre de bits et d'octets nécessaires.
N = dₙ × bⁿ + … + d₂ × b² + d₁ × b¹ + d₀ × b⁰
- N
- la valeur en décimal
- b
- la base de départ : 2, 8 ou 16
- d₀, d₁ … dₙ
- les chiffres du nombre, en partant de la droite (A = 10 … F = 15)
Exemple : convertir 181 en binaire, en hexadécimal et en octal
Divisions successives par 2 : 181 ÷ 2 = 90 reste 1 ; 90 ÷ 2 = 45 reste 0 ; 45 ÷ 2 = 22 reste 1 ; 22 ÷ 2 = 11 reste 0 ; 11 ÷ 2 = 5 reste 1 ; 5 ÷ 2 = 2 reste 1 ; 2 ÷ 2 = 1 reste 0 ; 1 ÷ 2 = 0 reste 1. En lisant les restes de bas en haut : 181 = 10110101 en binaire.
Vérification : 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181. Pour l'hexadécimal, coupez en paquets de 4 bits : 1011 | 0101, soit 11 | 5, donc B5. Retour en décimal : B × 16 + 5 = 11 × 16 + 5 = 181. Pour l'octal, paquets de 3 bits : 10 | 110 | 101, soit 2 | 6 | 5, donc 265.
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal | Bits |
|---|---|---|---|---|
| 16 | 10000 | 20 | 10 | 5 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 | 6 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 | 7 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 | 7 |
| 127 | 1111111 | 177 | 7F | 7 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 | 8 |
| 192 | 11000000 | 300 | C0 | 8 |
| 200 | 11001000 | 310 | C8 | 8 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF | 8 |
| 256 | 100000000 | 400 | 100 | 9 |
| 1 000 | 1111101000 | 1750 | 3E8 | 10 |
| 1 024 | 10000000000 | 2000 | 400 | 11 |
| 4 096 | 1000000000000 | 10000 | 1000 | 13 |
| 65 535 | 1111111111111111 | 177777 | FFFF | 16 |
Où l'on rencontre le binaire et l'hexadécimal
Un octet compte 8 bits et prend 256 valeurs, de 0 (00000000, 00 en hexa) à 255 (11111111, FF). Les couleurs web s'écrivent avec trois octets : #FF8000 donne rouge 255, vert 128, bleu 0, soit un orange. Les masques réseau suivent la même logique : 255.255.255.0 correspond à 24 bits à 1 suivis de 8 bits à 0.
L'octal sert encore pour les droits des fichiers sous Linux : chmod 755 se lit 7 | 5 | 5, soit 111 | 101 | 101, c'est-à-dire rwx r-x r-x. Pour additionner ou multiplier des nombres en hexadécimal, utilisez plutôt la calculatrice hexadécimale.
Questions fréquentes
Comment écrire 1024 en binaire ?
1024 = 2¹⁰, donc 1 suivi de dix zéros : 10000000000 (11 bits). En hexadécimal, cela donne 400 et en octal 2000.
Comment convertir de l'hexadécimal en décimal ?
Multipliez chaque chiffre par la puissance de 16 de sa position, puis additionnez. 7E = 7 × 16 + 14 = 126, et 3E8 = 3 × 256 + 14 × 16 + 8 = 1 000.
Combien de valeurs peut-on écrire sur 8 bits ?
2⁸ = 256 valeurs, de 0 à 255. Sur 16 bits, on monte à 65 536 valeurs (0 à 65 535, soit FFFF), et sur 32 bits à un peu plus de 4,29 milliards.
Comment reconnaître la base d'un nombre ?
Les langages de programmation utilisent des préfixes : 0b pour le binaire (0b1101), 0x pour l'hexadécimal (0xFF), 0o ou un 0 initial pour l'octal (0o755). Dans ce convertisseur, saisissez le nombre sans préfixe et choisissez la base dans la liste.
Comment écrire un nombre négatif en binaire ?
Les ordinateurs utilisent le complément à deux : on inverse tous les bits du nombre positif, puis on ajoute 1. Sur 8 bits, −5 s'écrit 11111011 et −1 s'écrit 11111111. Ce convertisseur ne traite que les entiers positifs.