Comment calculer une probabilité
Choisissez d'abord le « Type de calcul ». « Probabilité simple » demande les « Cas favorables » et les « Cas possibles » : tirer un as dans un jeu de 52 cartes, c'est 4 cas favorables sur 52, soit 7,69 %. Cette formule suppose que tous les cas ont la même chance.
Pour compter les cas, « Combinaisons C(n,k) » donne le nombre de groupes de k éléments pris parmi n, sans tenir compte de l'ordre. « Arrangements A(n,k) » tient compte de l'ordre : A(n, k) = n! ÷ (n − k)!. « Permutations n! » compte les façons de ranger n éléments, jusqu'à n = 170.
« Loi binomiale » répond à la question : sur n essais indépendants qui réussissent chacun avec la probabilité p, quelle est la chance d'obtenir exactement k succès ? Remplissez « Nombre de tentatives (n) », « Nombre de succès (k) » et « Probabilité de succès (p) », entre 0 et 1.
« Loi normale » calcule P(X ≤ x) à partir de la « Moyenne (μ) », de l'« Écart-type (σ) » et de la « Valeur (x) ». Le calcul passe par le score z = (x − μ) ÷ σ, affiché avec le résultat.
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- n
- le nombre d'essais indépendants
- k
- le nombre de succès voulu
- p
- la probabilité de succès à chaque essai
- C(n, k)
- le nombre de combinaisons, n! ÷ (k! × (n − k)!)
Exemple : 5 piles en 10 lancers, puis au moins un 6 en 4 lancers
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Le nombre de façons de placer 5 piles parmi 10 lancers est C(10, 5) = 252. Chaque suite précise a une probabilité de 0,5¹⁰ = 1/1 024. Donc P(X = 5) = 252 ÷ 1 024 ≈ 24,61 %. C'est le résultat de la loi binomiale avec n = 10, k = 5 et p = 0,5.
Pour « au moins un », passez par le contraire. La probabilité de ne faire aucun 6 en 4 lancers vaut (5/6)⁴ ≈ 0,4823. La probabilité d'au moins un 6 est donc 1 − 0,4823 = 0,5177, soit 51,77 %.
| Événement | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| Faire 6 avec un dé | 1 / 6 | 16,67 % |
| Faire pile avec une pièce | 1 / 2 | 50,00 % |
| Faire 7 avec deux dés | 6 / 36 | 16,67 % |
| Faire un double six avec deux dés | 1 / 36 | 2,78 % |
| Tirer un as dans un jeu de 52 cartes | 4 / 52 | 7,69 % |
| Tirer un cœur dans un jeu de 52 cartes | 13 / 52 | 25,00 % |
| Au moins un 6 en 4 lancers de dé | 1 − (5/6)⁴ | 51,77 % |
| Au moins un double six en 24 lancers | 1 − (35/36)²⁴ | 49,14 % |
| Exactement 5 piles en 10 lancers | C(10,5) / 2¹⁰ | 24,61 % |
| Deux personnes nées le même jour parmi 23 | 1 − (365 × 364 × … × 343) / 365²³ | 50,73 % |
| Situation | Formule | Nombre de cas |
|---|---|---|
| Choisir 3 personnes parmi 10 | C(10,3) | 120 |
| Podium de 3 coureurs parmi 10 | A(10,3) | 720 |
| Ranger 5 livres sur une étagère | 5! | 120 |
| Mains de 5 cartes dans un jeu de 52 | C(52,5) | 2 598 960 |
| Grilles de 5 numéros parmi 49 | C(49,5) | 1 906 884 |
| 5 numéros parmi 49 et 1 numéro parmi 10 | C(49,5) × 10 | 19 068 840 |
| 5 numéros parmi 50 et 2 parmi 12 | C(50,5) × C(12,2) | 139 838 160 |
Trois règles pour éviter les erreurs
« A ou B » : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B). On n'additionne directement que des événements qui ne peuvent pas arriver ensemble. Tirer un as ou un cœur : 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52, soit 30,77 %.
« A et B » : pour des événements indépendants, on multiplie. Deux piles de suite : 1/2 × 1/2 = 25 %. Le hasard n'a pas de mémoire : après 5 piles, la probabilité de pile au lancer suivant reste 50 %. Enfin, « au moins un » se calcule presque toujours par 1 − P(aucun).
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité en pourcentage ?
Divisez les cas favorables par les cas possibles, puis multipliez par 100. 3 boules rouges sur 12 : 3 ÷ 12 = 0,25, soit 25 %.
Quelle différence entre combinaison et arrangement ?
Une combinaison ignore l'ordre, un arrangement en tient compte. Choisir 3 personnes parmi 10 donne C(10, 3) = 120 groupes ; attribuer or, argent et bronze à 3 des 10 donne A(10, 3) = 720 podiums.
Combien de grilles de 5 numéros parmi 49 ?
C(49, 5) = 1 906 884 grilles. Si l'on ajoute 1 numéro parmi 10, on multiplie par 10 : 19 068 840 combinaisons, donc une chance sur 19 068 840 de tout trouver avec une grille.
Comment calculer la probabilité d'au moins un succès ?
Calculez 1 − (1 − p)ⁿ. Avec une chance sur 20 à chaque essai (p = 0,05), la probabilité d'au moins un succès en 20 essais est 1 − 0,95²⁰ ≈ 64,15 %.
Quand utiliser la loi binomiale ?
Quand on répète n fois la même épreuve, avec deux issues (succès ou échec), une probabilité p constante et des essais indépendants. Exemple : le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 20 si 5 % le sont, avec P(X = 2) ≈ 18,87 %.