Comment calculer une racine
Saisissez le nombre dans « Nombre (radicande) », choisissez l'indice avec les boutons √ (2), ∛ (3), 4√ ou 5√, ou tapez un autre indice dans « Indice de la racine », puis cliquez sur « Calculer la racine ». Le résultat indique s'il s'agit d'une racine exacte ou d'une valeur approchée, donnée avec jusqu'à 10 décimales, et le vérifie en l'élevant à la puissance choisie.
Pour la racine carrée d'un nombre entier, la calculatrice donne aussi la forme simplifiée et un encadrement entre deux entiers : √72 = 6√2, et 8 < √72 < 9. Les boutons d'exemples (√25, √20, ∛27, √1024…) remplissent les champs pour voir chaque cas.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée parmi les nombres réels, et la calculatrice le signale. Une racine d'indice impair existe en revanche toujours : ∛(−8) = −2, car (−2) × (−2) × (−2) = −8.
Pour estimer une racine de tête, encadrez le nombre entre deux carrés parfaits. 30 est entre 25 et 36, donc √30 est entre 5 et 6, un peu avant le milieu : √30 ≈ 5,477.
ⁿ√x = x^(1/n)
- x
- le radicande, le nombre dont on cherche la racine
- n
- l'indice : 2 pour la racine carrée, 3 pour la racine cubique
Exemple : simplifier √72 et calculer la racine cubique de 49
On cherche le plus grand carré parfait qui divise 72. C'est 36, car 72 = 36 × 2. On écrit √72 = √36 × √2 = 6√2. En valeur décimale, 6 × 1,41421 ≈ 8,4853, et 8,4853² ≈ 72,0003 : le résultat est juste à l'arrondi près.
Pour ∛49, on encadre entre deux cubes : 3³ = 27 et 4³ = 64, donc ∛49 est entre 3 et 4. 49 n'est pas un cube parfait, la valeur exacte n'est pas un nombre décimal : la calculatrice donne ∛49 ≈ 3,6593, et 3,6593³ ≈ 48,9998.
| n | n² (carré) | n³ (cube) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1 000 |
| 11 | 121 | 1 331 |
| 12 | 144 | 1 728 |
| 13 | 169 | 2 197 |
| 14 | 196 | 2 744 |
| 15 | 225 | 3 375 |
| Nombre | Racine carrée | Racine cubique |
|---|---|---|
| 2 | ≈ 1,4142 | ≈ 1,2599 |
| 3 | ≈ 1,7321 | ≈ 1,4422 |
| 5 | ≈ 2,2361 | ≈ 1,7100 |
| 10 | ≈ 3,1623 | ≈ 2,1544 |
| 16 | 4 | ≈ 2,5198 |
| 20 | 2√5 ≈ 4,4721 | ≈ 2,7144 |
| 30 | ≈ 5,4772 | ≈ 3,1072 |
| 49 | 7 | ≈ 3,6593 |
| 50 | 5√2 ≈ 7,0711 | ≈ 3,6840 |
| 72 | 6√2 ≈ 8,4853 | ≈ 4,1602 |
| 81 | 9 | ≈ 4,3267 |
| 100 | 10 | ≈ 4,6416 |
| 1 024 | 32 | ≈ 10,0794 |
Simplifier une racine carrée
On utilise la règle √(a × b) = √a × √b en faisant apparaître un carré parfait : √12 = √4 × √3 = 2√3, √18 = 3√2, √48 = √16 × √3 = 4√3, √75 = 5√3, √200 = 10√2. Prenez toujours le plus grand carré possible, sinon il faudra simplifier une seconde fois.
Attention, la règle ne marche pas avec l'addition : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. On ne peut pas non plus additionner 2√3 et 3√2 ; en revanche 2√3 + 5√3 = 7√3.
Questions fréquentes
Quelle est la racine carrée de 2 ?
√2 ≈ 1,41421356. Ce nombre n'a pas d'écriture décimale finie. C'est par exemple la longueur de la diagonale d'un carré de 1 m de côté : environ 1,414 m.
Quelle est la racine cubique de 49 ?
∛49 ≈ 3,6593, car 3,6593 × 3,6593 × 3,6593 ≈ 49. Elle se situe entre 3 (3³ = 27) et 4 (4³ = 64), plus près de 4.
Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?
Partez d'une estimation x, puis remplacez-la par la moyenne de x et de a ÷ x (méthode de Héron). Pour √30 avec x = 5,5 : (5,5 + 30 ÷ 5,5) ÷ 2 ≈ 5,4773, déjà juste au millième.
Pourquoi √25 vaut 5 et pas −5 ?
Le symbole √ désigne par convention la racine positive. L'équation x² = 25 a bien deux solutions, 5 et −5, qu'on écrit ±√25.
Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?
Pas avec les nombres réels, car un carré est toujours positif ou nul. Il faut passer aux nombres complexes, où √(−1) se note i. La racine cubique d'un négatif existe : ∛(−27) = −3.